Pochodził z rodziny szlacheckiej osiadłej w Grodzisku, pieczętującej się herbem Łada. Urodzony około 1760 roku, syn Michała, kasztelana oświęcimskiego, i Zuzanny Konarskiej, senator dożywotni Wolnego Miasta Krakowa i jego Okręgu (Rzeczypospolitej Krakowskiej), wielokrotny poseł i marszałek Zgromadzenia Reprezentantów. Kawaler polskiego Orderu św. Stanisława III klasy i austriackiego Orderu św. Leopolda. Początkowo pracował jako decyfrant w kancelarii Stanisława Augusta, posłował na sejm w 1788 roku, prawdopodobnie był zaangażowany w działania konfederacji targowickiej, w 1793 roku posłował na sejm grodzieński. W okresie Księstwa Warszawskiego był radcą prefektury, gdzie dał się poznać Stanisławowi Wodzickiemu (nr 647), patronowi jego dalszej kariery. W roku 1815 z nadania władz austriackich został członkiem asesorem Komisji Organizacyjnej Rzeczypospolitej Krakowskiej działającej w imieniu trzech mocarstw opiekuńczych. W tymże roku został mianowany dożywotnim senatorem – członkiem Senatu Rządzącego. W trakcie organizowania się i stopniowego przejmowania administracji miasta przez Senat Rządzący został 11 kwietnia 1816 roku przez Senat wyznaczony na p.o. prezydenta municypalnego – po Józefie Mateckim (nr 648). W tej roli administrował miastem do 31 lipca 1816 roku – następnego dnia Senat przejął całość władzy nad Krakowem i rozwiązał dotychczasowy magistrat. Feliks Grodzicki powrócił do roli zastępującego głowę miasta jeszcze czterokrotnie w latach 1831–1833, gdy po ustąpieniu Wodzickiego powstał długotrwały wakat na urzędzie prezesa Senatu. Wówczas to senatorowie na zmianę, w sekwencjach co do zasady jednomiesięcznych, pełnili obowiązki prezesa, tytułując się „senatorami prezydującymi”. Feliks Grodziski najwięcej energii poświęcał reformowaniu Uniwersytetu Krakowskiego; w roku 1820 był członkiem Wielkiej Rady Uniwersytetu, od 1821 roku pełnił funkcję komisarza uczelni. Przez lata podejrzewany o przekupstwo i nadużycia finansowe pod koniec kariery przyłapany został na kradzieży pieniędzy z kasy miejskiej. Uniknął kary z powodu wieku i niedołęstwa. Zmarł w 1838 roku w swoim majątku Topola, pozostawiając córkę Julię, pianistkę i śpiewaczkę, oraz syna Kazimierza.
